Quante volte ho sentito discorsi che creavano confusione in merito.

Parto dalle definizioni etimologiche:

FÀCILE: agg. [dal lat. facĭlis, der. di facĕre «fare»]. – 1. Che si può fare agevolmente, senza grande abilità o sforzo (fisico o mentale) e in genere senza stento.

SEMPLICE: [lat. simplex simplĭcis, comp. di sem(el) “una volta”, e tema di plectĕre “piegare”; quindi “piegato una sola volta”]. – ■ agg. 1. a. [che è costituito da un solo elemento e non può risolversi perciò in ulteriori componenti: nodo s.]. – ■ agg. [di problema, ragionamento e sim., che non presenta difficoltà] ≈ facile, rapido, sbrigativo, svelto.

L’etimo latino simplex è formato a sua volta dall’unione del prefisso sem- = uno solo (vedere l’avverbio latino semel = una sola volta) + la radice plek-, che troviamo nel verbo latino plectĕre = piegare. Pertanto, il significato originario dell’aggettivo semplice è “piegato una sola volta” cioè costituito da un solo elemento, unico. Il termine semplice, si contrappone a molteplice (nelle varie declinazioni: duplice, triplice…etc), e a complesso o complicato (cum + plectĕre = piegare più volte).

Già analizzando gli etimi dovrebbe essere evidente la differenza tra facile e semplice ma andiamo per esempi.

2+2=4

Non dovrebbero esserci problemi a capire questa verità matematica, giusto? É facile da intuire e capire. Prendi due biscotti da una giara, poi ne prendi altri due ed in mano ti ritrovi quattro biscotti. Facile.

Ma hai mai provato a dimostrare matematicamente perchè 2+2=4? E perchè quindi è una verità matematica e non una congettura?

Sono ragionevolmente sicuro di no e qui provo a farlo per te.

Dimostrazione Matematica Utilizzando gli Assiomi di Peano

Definizioni

• Numeri Naturali: L’insieme dei numeri naturali N inizia con 0 e include tutti i numeri interi positivi.
• Funzione Successore: Ogni numero naturale n ha un successore unico, denotato S(n). Ad esempio, se n=0, allora S(0)=1, S(1)=2, e così via.
• Addizione: Definita ricorsivamente come:
  a+0=a
  a+S(b)=S(a+b)

Definiamo 2 e 4:
Utilizzando la funzione successore, definiamo:
1=S(0)
2=S(1)=S(S(0))
3=S(2)=S(S(S(0)))
4=S(3)=S(S(S(S(0))))

Ora calcoliamo 2+2:
Secondo la nostra definizione di addizione: 2+2=2+S(1)
Utilizzando la definizione ricorsiva di addizione: =S(2+1)

Calcoliamo ora 2+1:
Utilizzando la definizione di nuovo:
2+1=2+S(0)
=S(2+0)
=S(2)
Poiché 2=S(1), abbiamo S(2)=S(S(1))=3

Concludiamo il calcolo:
Sostituendo di nuovo per trovare 2+2:
2+2=S(2+1)=S(3)
Ora, S(3)=4

Abbiamo dimostrato che 2+2=4 secondo le definizioni negli assiomi di Peano.

Q.E.D.

Una dimostrazione decisamente non semplice per una equazione così facile, vero?

Ma aspetta, non è l’unica dimostrazione! Ne esiste un’altra che parte dagli assiomi di Peano per i numeri naturali (N,0,S).

Costruiamo la funzione somma:N² → N tale che
∀a ∈ N : somma(a,0) = a
∀a,b ∈ N : somma(a,S(b)) = S(somma(a,b))

Iniziamo costruendo l’insieme somma tale che
∀a,b,c : [(a,b,c) ∈ somma ⟺ (a,b,c)∈N³
∧∀d : [∀e,f,g : [(e,f,g) ∈ d ⟹ (e,f,g)∈N³]
∧∀e ∈ N : (e,0,e)∈ d
∧∀e,f,g : [(e,f,g) ∈ d ⟹ (e,S(f),S(g)) ∈ d] ⟹ (a,b,c) ∈ d]]

Quindi dimostriamo che somma è la funzione richiesta (esiste una dimostrazione formale di  728 righe che non riporto qui per misericordia ma della quale riporto il collegamento online).

Definiamo 1=S(0), 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3)

Dimostriamo infine, a turno, che somma(2,0)=2, somma(2,1)=3, somma(2,2)=4 come richiesto.

Sempre meno semplice, direi.

Questo vale non solo per la Matematica, vale in generale. Quando ti senti dire che “hai una vita facile”: forse (se non mi conosci non hai alcun titolo per dirlo, però) ma di sicuro non ho una vita semplice.

Quando ti senti dire che la soluzione di un qualche problema, soprattutto se il problema è di tipo “universale” come potrebbe esserlo la guerra, la fame nel mondo, la corruzione dei politici, è facile (“basterebbe fare questo”, “basterebbe fare quello”): che clamorosa ingenuità; certo che è facile ma è semplice? Se lo fosse non pensi che sarebbe già stato risolto?

Non c’è niente di veramente semplice in questo mondo. Ci consola crederlo, ci mette al sicuro da potenziali crisi esistenziali, ci crogioliamo nella confortevole illusione della “facilità” (“quasi fosse anagramma perfetto di felicità, barando su un’ unica lettera” perdonami Francesco!) per evitare che la nostra mente collassi e per alcuni versi va più che bene così.

Quando però questa illusione diventa la nostra identità e iniziamo a ridurre tutto a concetti “facili” per paura, pigrizia, ignoranza o chissà cos’altro, perdiamo la nostra umanità, quello che ci distingue dagli altri animali, quello che ci ha fatto progredire e lasciamo spazio a superstizioni, credulonerie, false scienze, ciarlatanerie e pericoloso oscurantismo.

In questi ultimi decenni si è visto a cosa sta portando questo oscurantismo ed ho seriamente paura.